meccanica della frattura

La meccanica della frattura

Delle possibili modalità di collasso di una struttura, la frattura è quella che interessa precipuamente le bocche da fuoco. Ergo il moderno fochino scientifico non può ignorare alcuni principi fondamentali della meccanica della frattura. Cercheremo qui nel seguito di spiegare intuitivamente cosa sia questa branca della scienza delle costruzioni, e perché sia così importante nell'ambito pirotecnico.

La meccanica della frattura nasce agli inizi del Novecento dalla constatazione che i corpi criccati hanno modalità di collasso peculiari, non direttamente riconducibili alla rottura per esaurimento delle risorse di resistenza del materiale (quest'ultimo caso, per esempio il filo teso che si rompe quando la tensione normale sulla sezione trasversale è pari a quella di snervamento/rottura, che è una proprietà caratteristica del materiale a prescindere dalla forma della struttura).

Quando si tira un filo e questo si rompe sotto una determinata forza, raddoppiando l'area della sezione del filo si raddoppia anche la forza necessaria alla rottura. Inoltre nel caso di materiali duttili alla rottura si associano visibili deformazioni permanenti del corpo. Nelle foto a sinistra si possono vedere gli effetti della prova di trazione uniassiale su un provino di acciaio: nella prima i due spezzoni vengono accostati, nella seconda si vede il dettaglio delle teste dei monconi (da web.vtc.edu) palesemente deformate.

Ma quando ad essere soggetto ad uno stato di sforzo di prevalente trazione è un corpo criccato gli ingegneri dell'Ottocento, che per primi affrontarono progetti arditissimi con la carpenteria metallica, si resero conto con sgomento che raddoppiando le dimensioni geometriche del corpo la resistenza al collasso in termini di forza sostenuta non raddoppia: il suo accrescimento è meno che proporzionale all'accrescimento delle dimensioni.

I criteri di verifica delle strutture basati sul puro e semplice calcolo elastico erano forse in errore? Come spiegare un effetto di scala che la legge di Hooke non ammette?

La risposta la diede per la prima volta l'ingegnere Alan Arnold Griffith nel 1920, che formulò la prima teoria energetica della frattura fragile adducendo il concetto di energia di deformazione elastica e di energia di formazione di superficie libera.

In sintesi: un corpo elastico caricato da forze esterne si deforma. Tale deformazione si accompagna ad uno stato di sforzo all'interno del materiale. Il corpo è quindi sede di accumulo di energia (sforzo per deformazione = energia per unità di volume) di deformazione elastica. Sia adesso il corpo criccato da una fessura. Se questa fessura dovesse propagarsi verrebbe a crearsi nuova superficie libera (le due facce della frattura propagata). Per creare nuova superficie libera è necessario compiere un lavoro ovvero spendere energia (caratterizzata dall'energia G per la creazione di una unità di superficie libera). Quando la frattura si propaga i suoi dintorni si "scaricano" (gli sforzi diminuiscono) e l'energia di deformazione precedentemente accumulata nel corpo si perde. Griffith constata questo: se la frattura propagandosi richiede un'energia (di creazione di nuova superficie) minore di quella che il corpo può cedere a causa della propagazione (a causa dello "scaricamento" dello stato di sforzo e deformazione nei pressi della frattura), allora la frattura si propaga. Ovvero quando il corpo, durante la propagazione di una frattura, è in grado di rilasciare (a causa dello scarico di alcune sue parti) energia (precedentemente immagazinata quale energia potenziale di deformazione elastica) a sufficienza per propagare la detta frattura (ovvero in quantità superiore a quella necessaria a creare nuova superficie di frattura), allora la frattura si propaga e si ha generalmente la rottura di schianto .

Altro modo di risolvere il problema è l'approccio tensionale ideato da George Rankine Irwin negli anni Cinquanta. Irwin osservò lo stato tensionale nei pressi dell'apice della frattura. Studiando il problema elastico di una lastra tesa con un incavo sul contorno (problema fra l'altro già affrontato in precedenza da altri autori), giunse a concludere che, in sezione trasversale, avvicinandosi al culmine dell'incavo lo stato tensionale aumenta tanto più quanto più è acuminato l'incavo. Al limite per fessure idealmente acuminate lo stato di sforzo tende ad infinito al tendere a zero della distanza dall'apice della fessura. In questo caso non è che il corpo ceda automaticamente, in quanto la divergenza degli sforzi avviene per un'estensione infinitesima di spazio attorno al culmine (tipico caso in cui si ha a che fare con un qualcosa tipo il prodotto zero per infinito).

A sinistra: il disturbo indotto da un incavo ("notch") ed una fessura ("crack") sulle linee isostatiche (linee che seguono la direzione dello sforzo) di trazione in un provino teso. A destra la crescita di intensità dello stato di sforzo all'avvicinarsi al culmine del difetto (figure da http://www.hghouston.com).

Si distinguono tre modalità di frattura a seconda del cinematismo:

Guardando ad esempio il modo primo, quello a trazione, la soluzione di Irwin è riportata nelle formulacce di seguito (dove r è la distanza dall'apice e J è l'angolo di elevazione rispetto al piano che contiene la fessura). Gli sforzi sono ovunque proporzionali ad un fattore K, detto fattore di intensificazione degli sforzi. Il criterio di propagazione della frattura secondo Irwin è il seguente: fintantoché K è minore di un valore critico K_ic, caratteristica del materiale, la frattura non si propaga. Allorquando K eguaglia o supera K_ic la frattura si propaga di schianto. K dipende dalla geometria e dalle dimensioni del problema e dall'intensità del carico applicato. L'indice i indica il modo di propagazione (vedi figura superiore).

A sinistra: la soluzione di Irwin per il modo primo, a destra il significato dei termini del tensore di sforzo (da www.sv.vt.edu). Si noti, nelle formule che esprimono le componenti costituenti il tensore di sforzo, la divergenza secondo la radice della distanza all'approssimarsi all'apice della fessura.

Gli approcci energetici e tensionali sono equivalenti ed esistono relazioni fra l'energia superficiale di formazione di frattura ed i fattori critici di intensificazione degli sforzi. Nel tempo sono poi stati proposti e validati notevoli sviluppi dei fondamentali concetti, per i materiali e le situazioni più disparate.

Il risultato di tutti questi studi è comunque questo: avendo a che fare con strutture criccate, danneggiate o deliberatamente intagliate (pezzi meccanici quali ingranaggi, alberi a gomiti, qualunque membratura con spigoli vivi o debolmente arrotondati e rientranti e in realtà a voler essere proprio pignoli qualunque manufatto umano in cui una certa difettosità, seppur al di sotto di tolleranze magari strettissime, è sempre presente), il collasso può avvenire non solo perché il materiale esaurisce la sua resistenza caratteristica, ma anche per frattura. Il collasso per frattura dipende sia dalla natura del materiale sia dalla geometria del problema e segue leggi di scala diverse dalla semplice proporzionalità diretta fra dimensioni e carichi ammissibili. Oggetti uguali ma che presentano piccole differenze sotto forma di difetti, magari impercettibili ad occhio nudo, possono avere limiti e tipologie di collasso differenti.

Ebbene, non avendo intenzione di addentrarci nei reconditi meandri della meccanica avanzata delle strutture (argomento che lasciamo ben volentieri alle elucubrazioni degli ingegneri civili, aeronautici e meccanici), cosa c'entra tutto ciò con i mascoli?

Il mascolo, analogamente a tutte le bocche da fuoco per le quali valgono analoghe considerazioni (dal tubo di lancio dei fuochi pirotecnici ai cannoni di Navarone), è un tubo "spesso" (così detto in gergo ingegneristico in quanto lo spessore delle pareti è notevole rispetto al diametro del foro, e viene messo in conto nelle analisi strutturali) soggetto ad una forte pressione interna. Fintantoché il mascolo si mantiene privo di difetti la sua capacità portante è data dalla resistenza allo snervamento della parete del tubo. Di fronte a questa evenienza l'ordinario mascolo (ed anche il cannoncino ed il cannone) si rivela essere enormemente sovradimensionato.

Imprecisioni costruttive, corrosione e accidenti meccanici (urti, sfregamenti, caricamento...) possono generare difetti nelle pareti della canna o della base, sotto forma di fessure, incavi, camöe, intagli, bombature... Ognuno di questi difetti genera intensificazione degli sforzi, ed inoltre è sede preferenziale di corrosione che a sua volta aumenta ulteriormente l'intensificazione aggravando il difetto secondo uno sfavorevole circolo vizioso. Fintantoché l'intensificazione degli sforzi dovuti allo sparo è tale da non superare una determinata soglia il mascolo continua a comportarsi all'incirca come un corpo elastoplastico la cui capacità portante è legata allo snervamento del materiale. Allorquando dovesse verificarsi un'intensificazione critica degli sforzi, si produrrebbe la propagazione di frattura a partire dal difetto in cui l'intensificazione ha violato la soglia. A volte la frattura si propaga fino ad un'estensione corrispondente ad una stabilizzazione determinata da una favorevole redistribuzione degli sforzi; altre volte la propagazione si manifesta fino alla rottura per cedimento di schianto del pezzo.

Per contenere tale pericolo è quindi possibile procedere per due vie: diminuire l'intensificazione degli sforzi, controllando che le irregolarità si mantengano entro geometrie e dimensioni di sicurezza, o aumentare le soglie critiche di innesco della frattura, usando materiali più tenaci (che hanno energia di Griffith e K_c di Irwin più alti).

Alla luce di ciò si comprende il fondamento scientifico dell'abbandono dei mascoli di ghisa; tali presentano infatti entrambe le problematiche: le superfici sono maggiormente intaccabili da difetti, ed inoltre la tenacità del materiale è bassa.

Per una trattazione più consapevole del problema si rimanda a testi specifici quali "Meccanica dei materiali" di Laura Vergani, edizioni McGraw Hill (Milano), e "Meccanica dei materiali e della frattura" di Alberto Carpinteri, edizioni Pitagora (Bologna). Presso i siti internet dei dipartimenti di ingegneria civile, meccanica e strutturale delle università italiane è possibile reperire inoltre validissime dispense in formato pdf.

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